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凯时真人线弹性断裂力学 概念: 断裂力学:断裂力学是以变形体力学为基础,研究含缺陷(或者裂纹)材料和结构的抗断裂性能,以及在各种工作环境下裂纹的平衡、扩展、失稳及止裂规律的一门学科。 线弹性断裂力学应用线弹性理论研究物体裂纹扩展规律和断裂准则。 (2)按照裂纹的受力和断裂特征分类 (a)张开型:(Ⅰ型,opening mode,or tensile mode) 特征:外加拉应力垂直于裂纹面,也垂直于裂纹扩展的前沿线。在外力的作用下,裂纹沿原裂纹开裂方向扩展。 (b)滑开型:(Ⅱ型, sliding mode, or in-plane shear mode) 特征:外加剪应力平行于裂纹面,但垂直于裂纹扩展的前沿线。在外力的作用下,裂纹沿原裂纹开裂方向成一定角度扩展。 (c)撕开型:(Ⅲ 型, tearing mode, or anti-plane shear mode) 特征:外加剪应力平行于裂纹面,也平行于裂纹扩展的前沿线。使裂纹面错开。在外力的作用下,裂纹基本上沿原裂纹开裂方向扩展。 Ⅲ 型是最简单的一种受力方式,分析起来较容易,又称反平面问题。 (d)混合型:( 或复合型,mixed mode ) 经常是拉应力与剪应力同时存在,实际问题多半是Ⅰ+Ⅱ,Ⅰ+Ⅲ,Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ 等,从安全的角度和方便出发凯时真人,将混合型问题常做简化看成Ⅰ型处理。 按裂纹形状分类 根据裂纹的真实形状,一般可以分为圆型、椭圆型、表面半圆型、表面半椭圆型,以及贯穿直裂纹等。 裂纹对材料强度的影响 具有裂纹的弹性体受力后,在裂纹尖端区域将产生应力集中现象。 受拉板,若无裂纹时,它的应力流线是均匀分布;当存在一个裂纹时,应力流线在裂纹尖端附近高度密集,但这种集中是局部性的,离开裂纹尖端稍远处,应力分布又趋于正常。 现考虑一“无限大”薄平板,承受单向均匀拉应力作用,板中存在贯穿椭圆型切口,其长轴2a,短轴2b。 根据弹性力学讨论,最大拉应力发生在椭圆长轴端点A(或)处凯时真人,其值为 该点处曲率半径,得椭圆裂纹处最大应力又可以写为 由固体物理知识,固体材料的理论断裂强度值为 式中 E——材料弹性模量; γ——固体材料的表面能密度; ——固体材料的原子间距。 为理论断裂强度,代表晶体在弹性状态下的最大结合力 式中——正弦曲线的波长 ——原子偏离平衡位置的位移 如果原子位移很小,则 ,则 由于我们研究的是弹性状态下晶体的破环,当原子偏离平衡位置的位移很小时,由胡可定律得 式中——弹性应变 ——原子间平衡时的距离 则 晶体脆性断裂时所消耗的功用来供给形成俩个表面所需要的表面能,则 式中为裂纹表面上单位面积表面能 则,得 按照传统强度观点,当切口端点处最大应力达到材料的理论强度时,材料断裂,即 因为,故得临界应力 当存在理想尖裂纹时,,说明,不管应力多大都断裂,显然与事实不符。这一疑问的答案正是连续介质力学与弹性理论的界限,因为固体是由原子组成,因此,当固体材料中的缺陷是尖端裂纹缺陷时,就可用原子间距代替裂纹尖端曲率半径,得 研究表明,当表面能与裂纹长度取下面的取值时 则其断裂应力比材料的理论值降低约100倍。这就从应力集中观点解释了固体材料的实际断裂强度远低于其理论强度。当设计的最大应力达到断裂极限时,裂纹开裂,使裂纹长度2a增加,这样又将使断裂极限降低,则裂纹继续扩展,最后导致整个固体材料断裂,所以它是裂纹失稳扩展的条件。 探伤结果与裂纹尺寸的换算 由公式可以看出,要确定出断裂极限,还需要知道裂纹扩展所需的表明能,以及已有裂纹的长度。裂纹的长度通常需要利用无损检测的方法来确定,目前流行的无损探伤技术有超声波探伤、磁粉探伤和荧光粉探伤技术。 在测量裂纹长度时以下几点需要引起足够的重视: 一、对确定的探伤设备及方法,有最小可识别缺陷的限制,设为因此,应假设结构中有尺寸为的初始缺陷。 二凯时真人、将探伤结果与解剖后实测缺陷尺寸对比,可大致得到经验探伤结果与真是缺陷的换算比。如超声探伤,实际缺陷面积是探伤面积的2~3倍。 三、此外还应引入安全系数。 6、Griffith理论 Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用,将板拉长后凯时真人,固定两端。由Inglis解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为 平面应力 另一方面凯时真人,Griffith认为,裂纹扩展形成新的表面,从而表面能增加,则俩个自由表面总的表面能(即裂纹表面能)为: 其中:为单位面积上的表面能凯时真人,裂纹面积。 裂纹表面能:形成新的裂纹表面所需要的能量凯时真人。由能量守恒,薄板产生裂纹所释放的弹性应变能转化为裂纹表面能。 如果应变能释放率凯时真人,等于形成新表面所需要吸收的能量率,则裂纹达到临界状态;如果应变能释放率小于吸收的能量率,则裂纹稳定;如果应变能释放率大于吸收的能量率,则裂纹不稳定。因此可以得到如下表达式 临界状态 裂纹稳定 裂纹不稳定 以平面应力为例,来考虑临界状态: ,即,((式) 注意:这里的为设计应力,此时我们可以得到断裂强度(即临界应力)为: 同时:也可以给出裂纹的临界尺寸: 这里将Griffith理论得到的,和前面的得到的做一比较,两式左边相同,所以: ,得到 结论:当裂纹尖端的曲率半径满足时,两种结果相当近似,往往把满足该条件的裂纹成为Griffith裂纹。 缺点:Griffith理论研究的仅限于材料时完全脆性的情况,而绝大多数金属材料断裂前裂尖存在塑性区域,不能应用该理论。 Orowan理论 在Griffith理论提出30年之后,Orowan对金属材料裂纹扩展的研究发现,提供裂纹扩展的弹性应变能不仅用于形成新的表面,还用于引起塑性变形所需的能量,即“塑性功”。 塑性功率:裂纹扩展单位面积时,内力对塑性变形做“塑性功”,称为“塑性功率”,用表示。则总塑性功为。据此可得: 得临界应力及裂纹临界尺寸凯时真人。 简化:对于金属材料,通常比大三个数量级,因而可忽略不计。因此上面的式子可以写为: 临界应力及裂纹临界尺寸。 小结: 理论断裂强度推出 Griffith断裂极限 Orwan断裂极限 得出断裂强度与成反比 解释了玻璃、陶瓷等脆性材料的断裂。 该理论考虑的裂纹在扩展过程中的塑性功,适用于大多数金属材料的断裂分析 注:这些是基于平面应力问题,对于平面应变问题,只需将E变为即可。 能量释放率及其断裂判据 从能量守恒和功能转换关系来研究裂纹扩展过程,由此可以更清楚地揭示断裂韧性的物理意义。 断裂韧性:表征材料阻止裂纹扩展的能力,是度量材料的韧性好坏的一个定量指标。当裂纹尺寸一定时,材料的断裂韧性值愈大,其裂纹失稳扩展所需的临界应力就愈大;当给定外力时,若材料的断裂韧性值愈高,其裂纹达到失稳扩展时的临界尺寸就愈大。 设有一裂纹体,其裂纹面积A,若其裂纹面积扩展了dA,在这个过程中载荷所做的外力功为dW,体系弹性应变能变化了dU凯时真人,塑性功变化了dΛ,裂纹表面能增加dS。如果不考虑热功间转换,则由能量守恒和转换定律凯时真人,得合外力所做的功等于系统内能的改变量。 式中dΛ与dS表示裂纹扩展dA时所需要的塑性功和裂纹表面能(对于金属材料,通常比大三个数量级,S可以相对于Λ项略去不计),它们可以视为裂纹扩展所需要消耗的能量,也即阻止裂纹扩展的能量。记裂纹扩展dA时弹性系统释放(耗散)的能量(势能)为,则有 裂纹扩展能量释放率:定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率,用G表示,则有 它表示系统势能的减少,假设裂纹体的厚度为B,裂纹长为a,则dA=Bda,上式变为:。 裂纹扩展阻力率:定义裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量为裂纹扩展阻力率,用R或表示,则,则材料一定,上述R或为常数,称为材料的断裂韧度。可实验测得。 当G达到时,裂纹将失去平衡,开始失稳扩展。所以能量释放率断裂依据为。 9、G的表达式(一)恒位移情况 弹性体受载荷P作用,产生位移△后,固定上下两端,构成恒位移的能量封闭系统凯时真人。则d△=0,dW=0,所以 系统释放的应变能用于推动裂纹扩展,因此,裂纹扩展的能量释放率就是弹性体的应变能释放率。 在线弹性情况下:,又知, 式中c为弹性体的柔度,它是裂纹长度a的函数,即c=c(a)。 则 因此断裂韧度可计算为: 10、G表达式(二)恒载荷情况 弹性体受不变的载荷P作用,裂纹扩展da时,载荷不变(dP=0),位移变化为d△,故应变能的变化为 外力功改变为 因此断裂韧度可计算为 小结: 恒位移情况 恒载荷情况 比较位移恒定与载荷恒定情况下推导的断裂韧度,发现: 该式表明:恒位移或恒载荷情况下,可以有统一的表达式,它反映了裂纹扩展能量释放率与试件柔度之间的关系,成为Irwin-Kies关系。 11、平面问题(应力应变与z轴无关,只是平面x,y坐标的函数) 俩个平衡方程: 三个几何方程: 三个物理方程: 用应力表示的相容方程: 在弹性力学中,引入艾里应力函数, 使得应力函数满足相容方程(协调方程)、应力边界条件和位移边界条件 (双调和方程) 平面应力(应力二维)与平面应变(应变二维)问题的异同应力、应变、位移的差别凯时真人。 12、复变函数求解平面问题 很多带裂纹的弹性体问题,用复变函数解决更方便。定义一个应力函数凯时真人,其中 若Z为解析函数,那么导数必定能够确定从而导出Cauchy-Riemann条件: 采用Westergaurd应力函数,, 其中,, 根据Cauchy-Riemann方程有 说明Westergaurd应力函数自动满足协调方程 得应力分量: 将应力分量代入物理方程,并利用几何方程,可得 平面应变: 平面应力: 13、Ⅰ型裂纹 如图考虑一个无限大平板,裂纹长2a,在无限远处作用双向均匀拉应力σ。 此问题边界条件:在裂纹上无外力作用,即在y=0,处,;在无穷远处,即处,。 选取函数Z(z)为 此函数满足边界条件。 为方便计算,坐标代换:,即; 相当于把坐标原点移在了右顶点上。所以: 式中; 在裂纹右尖端附近,即当时,有极限值,并等于一常数。令, 其中称为应力强度因子。应力强度因子是表征裂纹尖端附近应力场的一个有效参量,可以作为判断裂纹是否将进一步进入失稳状态的一个指标。在裂纹尖端附近,在很小的范围内,为 代入中得 是在裂纹尖端处存在的极限;若只考虑裂纹尖端处附近的一个微小区域,则近似地成立以下关系: 即 以极坐标表示复变函数: 考虑到,则 而 并考虑到,便得到裂纹尖端附近应力场和位移场表达式 ((式) 对于无限大板中心裂纹受双向拉应力作用情况,有 对于Ⅰ型裂纹,是关键性的应力,在裂纹延长线上,,则 Ⅱ型裂纹。 Ⅱ型裂纹问题所受的是均匀剪应力作用,如图所示。 边界条件:在裂纹面上无外力作用,即y=0,,应力为0;无穷远处,只有剪应力作用。 选取满足边界条件的用力函数为: 为方便计算,坐标代换:,即; 相当于把坐标原点移在了右顶点上。所以: 式中 在裂纹右尖端附近,即当时: 得; 则在裂纹尖端有 Ⅲ型裂纹。 III型裂纹问题与I、II型不同,它是反平面问题。裂纹面沿z轴错开,只有z方向有位移。 选取满足边界条件的函数为, 为方便计算,坐标代换:,即; 相当于把坐标原点移在了右顶点上。所以: 式中 在裂纹右尖端附近,即当时: 得; 则在裂纹尖端有 应力强度因子断裂判据 参量、、分别称为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹尖端应力场强度的因子凯时真人,简称应力强度因子凯时真人。应力强度因子是表征裂纹尖端附近应力场的一个有效参量,可以作为判断裂纹是否将进一步进入失稳状态的一个指标。它是控制了裂纹尖端应力、应变场,是表示场强的物理量凯时真人。 在工程构件内部,Ⅰ型裂纹是最危险的凯时真人,实际裂纹即使是复合型裂纹,为了更加安全也往往把它看作Ⅰ型裂纹处理,因此,我们的重点将是Ⅰ型裂纹凯时真人。 由此可见,随着应力增大(或裂纹扩展)将不断增大凯时真人,当增大到足以使裂纹前端材料分离从而裂纹发生失稳扩展时,就称为到达临界状态凯时真人。标记该临界值为,则该临界值表征了材料阻止裂纹扩展的能力,是材料抵抗断裂的一个韧性指标,成为断裂韧性。因此,脆性断裂的应力强度因子判据可以表示为。 (1)断裂韧度与试件厚度B的关系 一般随材料厚度B的增加而下降。 (2)断裂韧度与材料屈服强度的关系 对于某些金属材料,屈服强度增高,断裂韧度会有所下降。 (3)断裂韧度与温度的关系 降低材料温度往往会增加材料强度,而降低材料的断裂韧度。 实验表明:材料的断裂韧度还依赖于温度、加载速度、环境、金属合金纯度以及裂纹尖端区域的冶金性质。如:提高金属合金纯度,对强度影响不大凯时真人,但往往能提高断裂韧度。 应力强度因子K及断裂韧度的量纲为,工程单位,国际单位或。建立了断裂判据,就可以分析问题了。但应用“K判据”有2个基础工作: 1、掌握构件的“伤情”; 2凯时真人、测出材料的断裂韧性值。 应力由断裂韧性公式可知,临界拉应力: 裂纹临界尺寸:。 16、深埋裂纹问题处理 在断裂力学中,常将内部缺陷视为深埋裂纹。 Green和Senddon曾求解无限大体中的椭圆片状裂纹问题(如图)。远场受垂直于椭圆片所在平面的均匀拉应力作用,椭圆片的长轴2c,短轴2a,裂纹边界点P满足方程: 或用参量θ表示: P点的应力强度因子求出为: 式中 当或,,此时修正系数α有最大值: ; 当或,,此时修正系数α有最小值: 可以做如下讨论: 在(园片状裂纹)时,,所以: 此时园片状裂纹前缘各点处的应力强度因子据相等。 (2)当或时,, 故有;在即椭圆短轴端点处,,有最大值为。这说明当时,无限大体内的椭圆片状裂纹可以近似的按无限大体内的中心贯穿裂纹来处理。 表面裂纹问题处理 工程上遇到的更多为表面裂纹,一般做法是根据前述无限大体中椭圆片裂纹的解经过修正近似处理,以下我们来看其主要步骤: (1)假想垂直于椭圆裂纹面、并且过椭圆长轴的平面
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